電子回路A 中間テスト対策

100点チェックリスト

2 [フィルタ]

☐  電圧・電流・電力利得をdBで書ける（係数20か10か）

☐  多段増幅の利得はdBの足し算になる理由を言える

☐  LPF/HPFの $v_{\mathrm{o}}/v_{\mathrm{i}}$ を回路から導出できる

☐  ゲイン $G_v$ をdBで導き、ボード線図（折線近似）を描ける

☐  カットオフ周波数 $f_{\mathrm{c}}=1/2\pi RC$ を導ける

☐  カットオフでゲイン$-3$dB・振幅$1/\sqrt{2}$・位相$\pm 45^{\circ }$と言える

☐  $-20$dB/dec と $+20$dB/dec の傾きを区別できる

☐  BPFがLPF＋HPF、負荷で$f_{\mathrm{c}}$が変わることを説明できる

[半導体]

☐  真性／p型／n型の構造とキャリアを説明できる

☐  多数・少数キャリアを区別できる

☐  $np=n_i^2$（質量作用則）で少数キャリア密度を計算できる

☐  バンド図で $E_g$・$E_f$・伝導帯・価電子帯を説明できる

☐  温度↑でキャリア↑・抵抗↓（負の温度係数）を言える

[ダイオード]

☐  空乏層・内蔵電位のでき方を説明できる

☐  整流作用と $v_{\mathrm{o}}$ が$0.7$V下がる理由を言える

☐  半波／全波整流の波形を描ける

☐  負荷直線で動作点を求められる

☐  小信号等価回路（動作抵抗 $r_d$）を導ける

☐  結合C付き回路で直流・交流等価回路を描き分けられる

☐  多ダイオード回路で各枝の電流を求められる

☐  降伏・ツェナー・LED($E=hc/\lambda$)を説明できる

[トランジスタ]

☐  バイポーラ(電流制御)／FET(電圧制御)を区別できる

☐  拡散長 $L_n$（密度が$1/e$）の意味を言える

☐  npn構造 $n_E\gg p_B>n_C$、ベースを薄くする理由を言える

☐  動作原理（EB順方向・CB逆方向、4ステップ）を説明できる

☐  回路記号（矢印＝エミッタ、npn/pnp）を描ける

☐  $I_{\mathrm{E}}=I_{\mathrm{C}}+I_{\mathrm{B}}$, $I_{\mathrm{C}}=\alpha I_{\mathrm{E}}$ から $h_{FE}=\frac{\alpha }{1-\alpha }$ を導ける

☐  エミッタ／ベース／コレクタ接地の入力・出力端子を言える

頻出公式チートシート

2 dB表示（常用対数・底10）

$G_v=20\log \left|\frac{v_{\mathrm{o}}}{v_{\mathrm{i}}}\right|$,$G_i=20\log \left|\frac{i_o}{i_i}\right|$

$G_P=10\log \frac{P_o}{P_i}$ （電力だけ係数10）

倍率と dB：$\times 10\to +20$, $\times 2\to +6$, $\times \frac{1}{\sqrt{2}}\to -3$ dB

LPF（R直列・C並列）

$\frac{v_{\mathrm{o}}}{v_{\mathrm{i}}}=\frac{1}{1+j\omega RC}$,$\left|\frac{v_{\mathrm{o}}}{v_{\mathrm{i}}}\right|=\frac{1}{\sqrt{1+(\omega RC{)}^2}}$

$\theta =-{\tan }^{-1}(\omega RC)$（遅れ）

HPF（C直列・R並列）

$\frac{v_{\mathrm{o}}}{v_{\mathrm{i}}}=\frac{j\omega RC}{1+j\omega RC}$,$\theta ={\tan }^{-1}\frac{1}{\omega RC}$（進み）

共通：${\omega }_{\mathrm{c}}=\frac{1}{RC}$,$f_{\mathrm{c}}=\frac{1}{2\pi RC}$

半導体

質量作用則：$n_p{p}_p=n_i^2$,$n_n{p}_n=n_i^2$

$n_i\propto \exp \left(-\frac{E_g}{2k_{B}T}\right)$（温度↑で抵抗↓）

Si：$E_g=1.1\mathrm{eV}$, $n_i=1.5\times 10^{16}/{\mathrm{m}}^3$(300K)

ダイオード

$I=I_S\left\{\exp \left(\frac{eV}{k_{B}T}\right)-1\right\}$

簡易型(Si)：順方向で $V_F\simeq 0.7\mathrm{V}$ 一定

負荷直線：$V_{\mathrm{in}}=IR+V_d$（直線と特性曲線の交点が動作点）

小信号：$r_d=\frac{\partial V_d}{\partial I}=\frac{k_{B}T}{eI}\simeq \frac{26\mathrm{mV}}{I}$

LED：$E=h\nu =\frac{hc}{\lambda }$, $1\mathrm{eV}=1.6\times 10^{-19}\mathrm{J}$

トランジスタ（バイポーラ）

バイアス：EB間＝順方向、CB間＝逆方向（npn/pnp共通）

KCL：$I_{\mathrm{E}}=I_{\mathrm{C}}+I_{\mathrm{B}}$

$I_{\mathrm{C}}=\alpha I_{\mathrm{E}}$（$\alpha =$ベース接地電流増幅率, $\ge 0.99$）

$h_{FE}=\frac{I_{\mathrm{C}}}{I_{\mathrm{B}}}=\frac{\alpha }{1-\alpha }=50\sim 1000$（エミッタ接地）

拡散長：$n(x)=n(0)e^{-x/L_n}$（$1/e$になる長さ）

（出典: ElectronicCircuitsA/materials/General/ 1_Filter, 2_Semicon, 3_Diode_part1〜3, 4_Trans_part1（OIKAWA Dai, 豊田高専））

数学の道具箱（このプリントで黙って使う数学）

計算問題（dB・RCフィルタ・小信号）で当たり前のように出てくる数学を先にまとめる。 本文の計算で詰まったらこの2つの道具に戻ればよい。

道具1：常用対数 ${\log }_{10}$（dB計算で必須）

${\log }_{10}x$ は「10を何乗したら $x$ になるか」という数。 例：$\log 10=1$（$10^1$だから）、$\log 100=2$、$\log 1000=3$、$\log 1=0$。

$$\log (a\times b)=\log a+\log b,\log \frac{a}{b}=\log a-\log b,\log a^n=n\log a.$$

増幅の利得は各段のかけ算だが、$\log$をとると足し算になる。これがdBを使う最大の理由。

$$\log 2\approx 0.30,\log 3\approx 0.48,\log 5\approx 0.70(=1-\log 2),\log 7\approx \mathrm{0.85.}$$

$0.6=\frac{6}{10}=\frac{2\times 3}{10}$ と分解して性質を使う：

$$\log 0.6=\log 2+\log 3-\log 10=0.30+0.48-1=-0.22,$$

$$20\log 0.6=20\times (-0.22)=-4.4\mathrm{dB}.$$

（ゲインが$1$より小さい＝出力が小さくなる、だからdBはマイナスになる。）

$\times 10\to +20$dB、$\times 2\to +6$dB（$=20\times 0.30$）、$\times \frac{1}{\sqrt{2}}\to -3$dB、$\times \frac{1}{10}\to -20$dB。 電圧・電流は$20\log$、電力だけ$10\log$。

道具2：複素数と $j$（交流のインピーダンス）

交流では電圧・電流が時間で揺れて、位相（タイミング）もずれる。 これを複素数1個で表すと、コイルやコンデンサも「複素数の抵抗（インピーダンス）」になり、 オームの法則・直列並列・分圧がそのまま使える。

$j=\sqrt{-1}$、つまり $j^2=-1$。よく使うのは $\frac{1}{j}=-j$ （分母分子に$j$をかけて $\frac{j}{j^2}=\frac{j}{-1}=-j$）。

抵抗は $R$、コンデンサは $\frac{1}{j\omega C}$、コイルは $j\omega L$。 コンデンサは高周波ほど通しやすい（$\omega$大で $\frac{1}{j\omega C}$ が小さい）、コイルは逆、と整合する。

ゲインは「出力の振幅が入力の何倍か」。 複素数の大きさがその振幅で、実部と虚部から

$$|a+jb|=\sqrt{a^2+b^2},\left|\frac{Z_1}{Z_2}\right|=\frac{|Z_1|}{|Z_2|}(\text{分子の大きさ}÷\text{分母の大きさ}).$$

だから、たとえばLPFで出てくる式は

$$\left|\frac{1}{1+j\omega RC}\right|=\frac{|1|}{|1+j\omega RC|}=\frac{1}{\sqrt{1^2+(\omega RC{)}^2}}.$$

分母 $1+j\omega RC$ は実部$=1$・虚部$=\omega RC$なので、虚部を2乗してルートの中に入れるだけ。 位相のずれが知りたいときは別に $\theta ={\tan }^{-1}\frac{\text{虚部}}{\text{実部}}$ で出す。

ゲイン＝大きさ、位相＝角度。フィルタの計算は「①インピーダンスで分圧の式 → ②大きさをとって ​の式 → ③$20\log$でdB」の3手順。 ②で虚部を2乗し忘れる・①の分圧で出力をどの部品の電圧にするか間違えるのが二大ミス。

dB（デシベル）表示

電子回路では利得（ゲイン）をdBで表す。電圧・電流利得は$20\log$、電力利得は$10\log$。 $\log$は常用対数（底10）。電力は電圧の2乗に比例（$P\propto V^2$）するので、$10\log V^2=20\log V$ となり係数が20になる。

多段増幅では総合利得は各段の積。$\log$をとると足し算になるのが便利（$\log$の計算が不安なら道具1へ）：

$$20\log \frac{v_{\mathrm{o}}}{v_{\mathrm{i}}}=20\log (A\times B\times C\times D)=20\log A+20\log B+20\log C+20\log D.$$

電力だけ係数が10。「電圧／電流＝20、電力＝10」を取り違えると配点を落とす。 $\times 2$は$+6$dB、$\times \frac{1}{\sqrt{2}}\approx 0.707$は$-3$dB（カットオフで多用）。

RCフィルタ回路

不要な周波数成分を取り除く。LPF＝低域通過（高周波ノイズを除去）、HPF＝高域通過（直流成分を除去）。 用途はAC/DCコンバータ、ノイズカット、直流成分除去。

LPFとHPFの回路

[2pt] Low-Pass Filter (LPF)：低域通過

High-Pass Filter (HPF)：高域通過

LPFの伝達特性の導出

正弦波を仮定。コンデンサのインピーダンスは $1/j\omega C$。直列回路なので電流は

$$i=\frac{v_{\mathrm{i}}}{R+\frac{1}{j\omega C}}=\frac{j\omega C}{1+j\omega RC}{v}_{\mathrm{i}}.$$

出力はC両端の電圧だから

$$v_{\mathrm{o}}=\frac{1}{j\omega C}i=\frac{1}{1+j\omega RC}{v}_{\mathrm{i}}⟹\left|\frac{v_{\mathrm{o}}}{v_{\mathrm{i}}}\right|=\frac{1}{\sqrt{1+(\omega RC{)}^2}}.$$

最後の大きさ（ ​の式）は道具2そのもの：分母 $1+j\omega RC$ の実部$1$・虚部$\omega RC$ を $\sqrt{1^2+(\omega RC{)}^2}$ にしただけ。

$G_v=20\log \left|\frac{v_{\mathrm{o}}}{v_{\mathrm{i}}}\right|=-20\log \sqrt{1+(\omega RC{)}^2}\mathrm{dB}$. 位相 $\theta =-{\tan }^{-1}(\omega RC)$（位相は遅れる）。

3つの領域で考える。

1. $\omega RC\ll 1$： $G_v\approx -20\log 1=0\mathrm{dB}$（平坦）。

2. $\omega RC\gg 1$： $G_v\approx -20\log (\omega RC)$。$\omega$が10倍で$-20\mathrm{dB}$、すなわち$-20$dB/decade（$-6$dB/oct）。

3. $\omega RC=1$： $G_v=-10\log 2\approx -3\mathrm{dB}$。ここが折れ点＝カットオフ。

カットオフ周波数：${\omega }_{\mathrm{c}}=\frac{1}{RC}$,$f_{\mathrm{c}}=\frac{1}{2\pi RC}$.

HPFの伝達特性の導出

出力はR両端の電圧。分圧で

$$\frac{v_{\mathrm{o}}}{v_{\mathrm{i}}}=\frac{R}{R+\frac{1}{j\omega C}}=\frac{j\omega RC}{1+j\omega RC}⟹\left|\frac{v_{\mathrm{o}}}{v_{\mathrm{i}}}\right|=\frac{\omega RC}{\sqrt{1+(\omega RC{)}^2}}.$$

$G_v=20\log \frac{\omega RC}{\sqrt{1+(\omega RC{)}^2}}\mathrm{dB}$. 位相 $\theta ={\tan }^{-1}\frac{1}{\omega RC}$（位相は進む）。 低域で$+20$dB/decade、$\omega RC=1$で$-3$dB、高域で$0$dB。

まとめ表とBPF

@l Y Y C20mm@ フィルタ & ゲイン $G_v$ & 位相 $\theta$ & カットオフ
LPF & $-20\log \sqrt{1+(\omega RC{)}^2}$ & $-{\tan }^{-1}(\omega RC)$（遅れ） &
HPF & $20\log \frac{\omega RC}{\sqrt{1+(\omega RC{)}^2}}$ & ${\tan }^{-1}\frac{1}{\omega RC}$（進み） & $f_{\mathrm{c}}=\frac{1}{2\pi RC}$

ある周波数帯だけを通す。LPF＋HPFで構成し、高周波（ノイズ）と低周波（直流分）の両方をカットする。 ゲインと帯域幅の積（GB積）は一定。

負荷のインピーダンスを考慮する必要がある。例えばHPFの出力に負荷抵抗$R$を並列接続すると、 等価抵抗は半分になりカットオフ周波数が2倍にずれる。対策はバッファ（緩衝器）の活用。

半導体の物性

ものは「電気の通しやすさ」で3つに分けられる：導体（金属。よく通す）、 絶縁体（ゴム・ガラス。通さない）、そのちょうど中間が半導体（シリコンSiなど）。 半導体のおもしろさは、ふだんはあまり通さないのに、熱・光・不純物のさじ加減で「通す／通さない」を自在に操れること。 この「操れる」性質が、ダイオードやトランジスタの土台になる。

シリコンの「手」と共有結合：なぜ純粋なSiは電気を通しにくい？

シリコン原子は、いちばん外側に電子を4個もっている（これを価電子＝「結合につかえる手」だと思えばよい）。 シリコンの結晶では、となり合う原子どうしが手を1本ずつ出し合い、電子2個をはさんで握手する。これが共有結合。 4本の手がすべて隣の原子とつながると、どの電子も結合に縛りつけられて動けない。 動ける電子がない＝電気を運べないので、純粋なシリコンはほとんど電気を通さない（ほぼ絶縁体）。

共有結合：となりと手を出し合って電子2個（ $\bullet \bullet$ ）を共有。全部の手がふさがると電子は動けない＝電気を運べない。

キャリア＝電気を運ぶ粒（電子とホール）

電気を運ぶ粒のこと。半導体では2種類が登場する。

(1) 自由電子：結合の手につながれていた電子が熱や光のエネルギーをもらうと、手を振りほどいて飛び出し、 結晶の中を自由に動き回れるようになる。これがマイナスの電気を運ぶ。

(2) ホール（正孔）：電子が飛び出したあとに残る「手の空き」＝空席。 まわりの電子が次々この空席へ移っていくと、空席のほうが反対向きに動いていくように見える。 空席はプラスの電気をもった粒のように振る舞うので、これも立派なキャリア。

熱・光で電子が手を振りほどく → 動ける「自由電子」と、残った「空席（ホール）」が同時に1個ずつ生まれる。

電子が1個飛び出すと、空席（ホール）も必ず1個できる＝電子とホールはいつもペアで生まれる（対生成）。 逆に、動ける電子が空席にはまり込むと両方とも消える（再結合）。

真性半導体：電子とホールは必ず同数

不純物をまったく混ぜていない純粋な半導体を真性半導体（i型）という。ここではキャリアは熱でできるペアでしか作れず、 必ず電子とホールが対で生まれるので、電子の数 $n$ とホールの数 $p$ は等しい（$n=p=n_i$）。 ただしその数はとても少なく、このままでは電流をほとんど流せない。→ そこで次の「不純物を混ぜる」が効いてくる。

不純物を混ぜてキャリアを増やす（n型・p型）

半導体を役立てるには、わざと不純物を少しだけ混ぜてキャリアを増やす（混ぜることをドープという。ごく微量$0.01\%$程度でよい）。 混ぜる原子の「手の数」で2種類に分かれる。

手を5本もつ原子（V＝5族。ヒ素Asなど）を混ぜる。4本は隣との結合に使うが電子が1個余る。 余った電子は簡単に自由電子になる→多数キャリアは電子（マイナス）。電子を「くれる」ので、この不純物をドナーと呼ぶ。

手が3本しかない原子（III＝3族。ホウ素Bなど）を混ぜる。手が1本足りず空席（ホール）ができる →多数キャリアはホール（プラス）。電子を「受け取る（空席を作る）」ので、この不純物をアクセプタと呼ぶ。

多数キャリアと少数キャリア

電気を運ぶ主役（数が多い方）と脇役（少ない方）のこと。 n型は電子が多数・ホールが少数、p型はホールが多数・電子が少数。 n型でも熱でできるペアのぶんだけホールが少し存在する（これが少数キャリア）。

どれだけ不純物を混ぜても、(電子の数)$\times$(ホールの数) は一定に保たれる：

$$np=n_i^2.$$

だから少数キャリアの数＝$n_i^2÷$（多数キャリアの数）で計算できる（多い方が増えるほど、少ない方は減る）。

まとめ表（真性・p型・n型）

@l C24mm Y Y@ & 真性(i型) & p型 & n型
混ぜる原子 & なし(純粋) & III族（手3本, アクセプタ, B等） & V族（手5本, ドナー, As等）
手（価電子）の数 & 4 & 3 & 5
多数キャリア & 電子＝ホール & ホール(正孔・＋) & 電子(－)
数の関係 & $n_i=p_i$ & $n_p<p_p$ & $n_n>p_n$
質量作用則 & — & $n_p{p}_p=n_i^2$ & $n_n{p}_n=n_i^2$

エネルギーバンド図（同じ話を「エネルギーの高さ」で描き直す）

バンド図は、いままでの「手」の話を電子のエネルギーの高さで描き直した図。電子は低いところから順に席を埋めていく。 価電子帯＝手につながれて動けない電子がいる下の階、伝導帯＝自由に動ける上の階、 その間の電子が居られないすき間が禁制帯（バンドギャップ）$E_g$。 電子が$E_g$を飛び越えて上の階へ上がる＝さっきの「手を振りほどいて自由電子になる」と同じこと（下の階には空席＝ホールが残る）。 フェルミ準位$E_f$は電子の詰まり具合を水に例えたときの「水面」の高さの目安。 n型は電子が多く$E_f$が上（伝導帯寄り）、p型は下（価電子帯寄り）、真性はちょうど中央にくる。

温度が上がると熱でペア（電子＋ホール）がどんどん生まれてキャリアが増える （$n_i\propto \exp \left(-\frac{E_g}{2k_{B}T}\right)$）。だから温度↑→キャリア↑→抵抗↓。 半導体の抵抗は温度と逆向きに動く（金属は温度↑で抵抗↑なので、半導体はその逆だと覚える）。

pn接合ダイオード

空乏層と内蔵電位

p型とn型を接合すると、境界で拡散（多数キャリアが濃度の低い側へ移動）と再結合が起き、 キャリアのない空乏層ができる。残されたアクセプタは負・ドナーは正の固定電荷となり、 これが作る内蔵電位（ビルトインポテンシャル）${\phi }_0$で拡散は止まる。

定常状態では「多数キャリアの拡散電流」と「少数キャリアのドリフト電流」が釣り合い、見かけ上の電流は0。 このバランスを直流電源で崩すと電流が流れる。

整流作用とI-V特性

順方向電圧：空乏層が狭くなり拡散・再結合で電流が流れる。逆方向電圧：空乏層が広がり電流は流れない（→可変容量に応用）。 これが整流作用。理想ダイオードのI-V：

$$I=I_S\left\{\exp \left(\frac{eV}{k_{B}T}\right)-1\right\}.$$

ONのSiダイオードは電圧降下が電流によらず$0.7$V一定とみなせる（簡易型）。 温度でI-V特性は変化する。電力計算や波形のピーク値ではこの$0.7$Vの差を忘れない。

整流回路の波形

交流が正のときだけ電流が流れる。$v_{\mathrm{o}}$の最大値は$v_{\mathrm{i}}$の最大値より$0.7$V小さい（$5\to 4.3$V）。 全波整流はダイオード4個のブリッジ回路で、入力が正負どちらでも抵抗に流れる電流は同一方向。 出力に平滑コンデンサ$C$を付けると充放電を繰り返して波形が滑らかになり、AC/DC変換に使える。

※全波整流（ブリッジ）：ACは左、$v_{\mathrm{o}}$は右の$R_L$両端。T側が$+$・B側が$-$で、入力が正負どちらでも$R_L$の電流は同一方向。

ダイオードを用いた論理回路

OR
$V_1$	$V_2$	$V_o$
0	0	0
0	5	4.3
5	0	4.3
5	5	4.3

AND
$V_1$	$V_2$	$V_o$
0	0	0.7
0	5	0.7
5	0	0.7
5	5	5

（簡易型 $V_F=0.7$Vで計算。ORは「どちらか高い入力$-0.7$V」、ANDは「どちらか低い入力$+0.7$V」になる。）

降伏現象・ツェナー・LED

逆電圧を大きくすると急に大電流が流れる。電子雪崩降伏(avalanche)：加速された少数キャリアがSi原子に衝突し電子-ホール対を雪崩的に生成。ツェナー降伏(Zener)：トンネル効果。 ツェナー降伏電圧$V_Z$は制御でき、定電圧素子として使う（$R$に印加される電圧は$V_Z$を超えない）。

LEDは電流再結合時に光を放出。$E=h\nu =\frac{hc}{\lambda }$。 LEDの電圧降下は$2\sim 3$Vと通常のダイオードより大きい。フォトダイオードはLEDと逆で、光を受けて電流が流れる（光センサ）。

ダイオード回路の解析（計算の山場）

負荷直線による動作点

ダイオードは非線形なので、回路方程式（直線）と特性曲線の交点＝動作点を求める。 直列回路 $V_{\mathrm{in}}=IR+V_d$ を変形した負荷直線 $I=\frac{V_{\mathrm{in}}-V_d}{R}$ をI-V特性に重ねる。 簡易的にはON状態を$V_d=0.7$V一定として $I=\frac{V_{\mathrm{in}}-0.7}{R}$。

演習問題（配布スライド No.3-23）

図の回路で抵抗$R_L$の両端電圧$V_L$を求めよ。$r=10\Omega$, $R_L=40\Omega$, $V_i=2$V。 ダイオード（$V_d$）, $r$, $R_L$ は直列。

直列回路なので $V_i=I_{d}r+V_d+I_d{R}_L$。簡易型で$V_d=0.7$V一定とおくか、負荷直線で交点を読む。

解法（簡易型）：

$$I_d=\frac{V_i-V_d}{r+R_L}=\frac{2-0.7}{10+40}=\frac{1.3}{50}=26\mathrm{mA}.$$

$V_L=I_d{R}_L=0.026\times 40=1.04\mathrm{V}$.

（検算：$V_r=I_{d}r=0.26$V、$0.26+0.7+1.04=2.0$V ✓。負荷直線でも$V_d\approx 0.7$, $I_d\approx 25$mAで一致。）

小信号等価回路（動作抵抗）：曲がった特性を「直線」で近づける

実際の信号は大きな直流（バイアス）の上に、小さく揺れる交流（小信号）が乗っていることが多い （例：$2$Vの直流に$0.1$Vの信号が乗る）。ところがダイオードのI-V特性は曲がっているので、そのままオームの法則（$V=RI$）は使えない。 でも揺れがごく小さいなら、使うのは曲線のほんの一部分だけ。その一部分はほぼまっすぐに見えるので、 その傾きをもった1個の抵抗で置き換えてよい——これが小信号等価回路の発想。

動作点Qで特性曲線に接線を引くと、その傾きが $\partial I/\partial V_d$。 小信号が感じる抵抗 $r_d$ はその傾きの逆数：

$$r_d=\frac{\Delta V_d}{\Delta I}=\frac{\partial V_d}{\partial I}.$$

電流の大きい動作点ほど曲線は急になり（傾きが大）、$r_d$は小さくなる。

回路方程式 $V_i=V_d+IR$ …(1)。入力が$\Delta V_i$だけ揺れると $V_i+\Delta V_i=(V_d+\Delta V_d)+R(I+\Delta I)$ …(2)。 (2)$-$(1) で大きな直流分が消え、揺れの分だけが残る：

$$\Delta V_i=\Delta V_d+R\Delta I=(r_d+R)\Delta I.$$

ここで $\Delta V_d=r_d\Delta I$ と置いた。つまり小信号から見ると、ダイオードはただの抵抗 $r_d$に化け、回路は $r_d$ と $R$ の直列という素直な線形回路になる（だからオームの法則・分圧が使える）。

$I=I_S{e}^{eV/k_{B}T}$ を微分すると $\frac{\partial I}{\partial V}=\frac{e}{k_{B}T}I$。 その逆数が動作抵抗：

$$r_d=\frac{\partial V_d}{\partial I}=\frac{k_{B}T}{eI}\simeq \frac{26\mathrm{mV}}{I}.$$

（室温 $\approx 300$K では $k_{B}T/e\approx 26$mV。問題2のように$T$が違えば $kT/eI$ をそのまま計算する。）

例：動作点$I=26$mAなら $r_d\simeq 26\mathrm{mV}/26\mathrm{mA}=1\Omega$。電流を増やすほど $r_d$ は小さくなる。 直流分は大文字（$V_i,I$）、小信号（揺れ）は小文字（$v_i,i$）で書き分けるのが約束。

総合演習：結合コンデンサ付きの小信号増幅（No.3-26）

演習問題（配布スライド No.3-26）

図の回路で、(1)直流等価回路を描け、(2)動作点と動作抵抗$r_d$を求めよ、(3)交流（小信号）等価回路を描き$v_L$を求めよ。

$V_i=2.0$V, $v_{\mathrm{i}}=0.1\sin \omega t$ V, $r=10\Omega$, $R=90\Omega$, $R_L=200\Omega$, $r_d=\frac{0.026}{I_d}\Omega$, $\omega$は十分大きい。

結合コンデンサ$C$は直流を通さず交流を通す（$\omega$が大きいので交流的には短絡）。だから直流と交流を分けて解く。 直流でバイアス（動作点）を決め、そこで得た$r_d$を使って交流の増幅を計算する。

直流では$C$は開放＝$R_L$は切り離される。$v_{\mathrm{i}}$（小信号源）は$0$とおく。残るのは $V_i$–$r$–ダイオード–$R$ の直列。

$$V_i=I_{d}r+V_d+I_{d}R,V_d=0.7\mathrm{V}（簡易型）.$$

$$I_d=\frac{V_i-V_d}{r+R}=\frac{2.0-0.7}{10+90}=\frac{1.3}{100}=13\mathrm{mA}.$$

(2) 動作抵抗。

$r_d=\frac{0.026}{I_d}=\frac{0.026}{0.013}=2.0\Omega$.（動作点 $I_d=13$mA, $V_d\simeq 0.7$V）

交流では直流電源$V_i$は短絡、$C$も短絡、ダイオードは動作抵抗$r_d$に置き換わる。 すると $v_{\mathrm{i}}$–$r$–$r_d$ の直列の先に、$R$と$R_L$が並列でぶら下がる回路になる。

$$R\parallel R_L=\frac{R{R}_L}{R+R_L}=\frac{90\times 200}{90+200}=\frac{18000}{290}\approx 62.1\Omega .$$

$v_L$は分圧で（$v_{\mathrm{i}}$の振幅は$0.1$V）：

$$v_L=v_{\mathrm{i}}\cdot \frac{R\parallel R_L}{r+r_d+(R\parallel R_L)}=0.1\cdot \frac{62.1}{10+2.0+62.1}=0.1\cdot \frac{62.1}{74.1}.$$

$v_L\approx 0.1\times 0.838=0.084\sin \omega t\mathrm{V}$（振幅約$84$mV）。

直流→開放、交流→短絡がコンデンサの鉄則。直流で$r_d$を出してから交流に使う順番を間違えない。 直流電源は交流等価回路では短絡する（電位の変化分は$0$だから）。

多ダイオード回路（No.3-28）

演習問題（配布スライド No.3-28）

図の回路で$I_{D1},I_{D2}$を求めよ。$V=5$V, $R=1$k$\Omega$, $R_1=1$k$\Omega$, $R_2=2$k$\Omega$。 ダイオード$D_1$（並列に$R_1$）とダイオード$D_2$（並列に$R_2$）が直列。 (1)理想ダイオードの場合、(2)電圧降下$0.7$Vの場合。

ON時は短絡とみなせ、$R_1,R_2$も短絡される。電流は$R$だけで決まり、全部ダイオードを流れる：

$$I_{D1}=I_{D2}=\frac{V}{R}=\frac{5}{1\mathrm{k}}=5\mathrm{mA}.$$

まず$R_1,R_2$にはダイオードと同じ$0.7$Vが掛かるので

$$I_1=\frac{0.7}{R_1}=\frac{0.7}{1\mathrm{k}}=0.7\mathrm{mA},I_2=\frac{0.7}{R_2}=\frac{0.7}{2\mathrm{k}}=0.35\mathrm{mA}.$$

$R$に掛かる電圧は $V-0.7\times 2=5-1.4=3.6$V なので、$R$を流れる総電流は

$$I=\frac{3.6}{R}=\frac{3.6}{1\mathrm{k}}=3.6\mathrm{mA}.$$

各ノードでKCL（総電流が並列の$R$枝とダイオード枝に分かれる）：

$I_{D1}=I-I_1=3.6-0.7=2.9\mathrm{mA}$, $I_{D2}=I-I_2=3.6-0.35=3.25\approx 3.2\mathrm{mA}$.

理想と簡易型($0.7$V)で答えが変わる。並列抵抗にもダイオードと同じ$0.7$Vが掛かる点を見落とさない。

過去問演習：半導体・ダイオードの穴埋め

過去の試験問題の一部（配布スライド No.3-29／OIKAWA先生）

半導体は大きく真性半導体と (a) と (b) に分類される。真性半導体のキャリアは電子と正孔が同数であるが、 (a) の多数キャリアは正孔であり、(b) の多数キャリアは電子である。一般的に (a) はSi単結晶に (c) 族の不純物を 添加して作製され、この不純物を (d) と呼び、混入量はおおよそ (A) %である。

p型半導体とn型半導体で接合を作製すると、接合面近傍のキャリアが他方へ拡散により侵入する。互いに他の領域へ侵入したキャリアは その領域内では少数キャリアであるため、多数キャリアとの (e) により消滅する。そのため接合面付近はキャリアの存在しない 領域である (f) が形成される。p型半導体内の (f) には不純物がイオン化され (g) の固定電荷が、一方、n型半導体内の (f) には (h) の固定電荷が取り残されるため、(i) が生じ正味のキャリアの移動は止まる。

pnダイオードには電流を一方向に流しやすい性質、すなわち (j) 作用があり、通常ダイオードでの電圧降下はSiの場合おおよそ (B) Vである。 pnダイオードに (k) 電圧を印加しても僅かな電流しか流れないが、(k) 電圧を増加させていくと突如として電流が急激に増大する。 この現象を (l) と呼び、(m) の安定化に応用される。

解答：

(a)	p型半導体	(f)	空乏層	(k)	逆(方向)
(b)	n型半導体	(g)	負	(l)	降伏(現象)
(c)	III(3)	(h)	正	(m)	電圧(定電圧)
(d)	アクセプタ	(i)	内蔵電位(電位障壁)	(A)	約0.01
(e)	再結合	(j)	整流	(B)	約0.7

(a)は「多数キャリア＝正孔」だからp型（III族・アクセプタ）。(g)(h)は空乏層の固定電荷で、 p側はアクセプタがイオン化して負、n側はドナーで正。(i)はこの固定電荷が作る内蔵電位。 (l)(m)は逆電圧での降伏を使ったツェナーダイオード＝定電圧（電圧の安定化）。

トランジスタ（新範囲）

分類とはたらき

トランジスタ＝Transfer（伝達）＋resistor（抵抗）。増幅・変調・演算・スイッチングを電気的に制御できる3端子素子。

• バイポーラトランジスタ(BJT)：電流で制御。npn型／pnp型。

• ユニポーラトランジスタ(FET)：電圧で制御。接合型FET／MOS-FET（各n型・p型）。

拡散長：トランジスタが効く理由

p型半導体に少数キャリア（電子）を注入すると、進むうちに確率的にホールと再結合して減っていく。密度は

$$n(x)=n(0)\exp \left(-\frac{x}{L_n}\right).$$

ここで $L_n$ は拡散長＝電子密度が$1/e$になる距離。 p型領域が拡散長より十分短いと、多くの電子は再結合せず通過できる。これがトランジスタ動作の鍵。

npnトランジスタの構造と動作原理

キャリア密度が $n_E\gg p_B>n_C$ となるように作る。 Emitter＝放射する（電子の注入を多く）、Base＝土台（拡散長より十分薄く）、Collector＝収集する（電子の空席を多く）。 E と C は非対称なので逆に配線してはいけない。

EB間＝順方向電圧、CB間＝逆方向電圧。 （$V_{\mathrm{XY}}$はYを基準としたXの電位。）

動作の4ステップ（npn）：

1. $V_{\mathrm{EB}}$（順方向）によってベース電流$I_{\mathrm{B}}$が流れる（ベースにホールが注入）。

2. エミッタの多数キャリア（電子）がベース領域へ拡散する。

3. 一部はホールと再結合して消えるが、大部分はコレクタまで到達（ベースが薄いから）。

4. 到達した電子は$V_{\mathrm{CB}}$（逆方向）で収集され、コレクタ電流$I_{\mathrm{C}}$が流れる。

要するに僅かなベース電流$I_{\mathrm{B}}$で大きなコレクタ電流$I_{\mathrm{C}}$を制御できる。これが増幅器の原理。 pnp型はキャリアと電源の向きが逆になるだけで、原理（EB順・CB逆、薄いベース）は同じ。

回路記号と型番

[2pt] npn型（矢印が外向き）

pnp型（矢印が内向き）

矢印はエミッタを示す（向きに注意：npnは外向き、pnpは内向き）。丸は省略することが多く、回路図中にE/C/Bは普通書かない。

2SA（pnp・高周波）, 2SB（pnp・低周波）, 2SC（npn・高周波）, 2SD（npn・低周波）。

電流増幅率（hFE）の導出

3つの電流の関係。KCLより $I_{\mathrm{E}}=I_{\mathrm{C}}+I_{\mathrm{B}}$。コレクタ電流はエミッタ電流に比例：$I_{\mathrm{C}}=\alpha I_{\mathrm{E}}$ （$\alpha =$ ベース接地電流増幅率, 通常$\alpha \ge 0.99$）。$\alpha ={\alpha }_e{\alpha }_b{\alpha }_c$（エミッタ注入効率・ベース輸送係数・コレクタ倍増係数）。

$I_{\mathrm{E}}$を消去する。$I_{\mathrm{B}}=I_{\mathrm{E}}-I_{\mathrm{C}}=I_{\mathrm{E}}-\alpha I_{\mathrm{E}}=(1-\alpha )I_{\mathrm{E}}$ なので

$$h_{FE}\equiv \frac{I_{\mathrm{C}}}{I_{\mathrm{B}}}=\frac{\alpha I_{\mathrm{E}}}{(1-\alpha )I_{\mathrm{E}}}=\frac{\alpha }{1-\alpha }.$$

$I_{\mathrm{C}}=h_{FE}{I}_{\mathrm{B}}$,$h_{FE}=\frac{\alpha }{1-\alpha }=50\sim 1000$（エミッタ接地電流増幅率）。

例：$\alpha =0.99$ なら $h_{FE}=\frac{0.99}{0.01}=99$。$\alpha =0.995$ なら $h_{FE}=199$。

ベースを薄く作ると再結合電流が減り拡散電流が増えるので、$\alpha \to 1$に近づき増幅率が増大する。 トランジスタを小さく作るほど性能が向上する理由。

接地（コモン）法による3種類の回路

トランジスタは3端子素子。増幅回路は2端子対回路（4端子回路）なので、3端子のうち1つを共通（接地）にして入力・出力で使う。 共通にする端子でエミッタ接地・コレクタ接地・ベース接地の3種類に分かれる。

@l C26mm C26mm C26mm@ 接地方式 & 共通(接地)端子 & 入力端子 & 出力端子
エミッタ接地 & エミッタ & ベース & コレクタ
コレクタ接地 & コレクタ & ベース & エミッタ
ベース接地 & ベース & エミッタ & コレクタ

電圧表記 $V_{\mathrm{XY}}$ はYを基準としたXの電位。例：$V_{\mathrm{BE}}$＝エミッタから見たベース電位。 代表はエミッタ接地（入力＝ベース、出力＝コレクタ）。 ※厳密には接地していない場合もあるので「コモン」とも呼ぶ。

トランジスタの小信号等価回路：入力は抵抗・出力は電流源

トランジスタの増幅回路も、まず直流バイアスで動作点を決め、 その上に乗る小さな交流信号だけを増幅する。小信号に対しては、トランジスタという複雑な部品を 「入力側＝抵抗」「出力側＝電流源」の2つだけの素直な等価回路に置き換えて考える。

EB間は順方向のダイオードだった（→さっきのダイオードの $r_d$ とまったく同じ理屈）。 だから小信号から見ると1個の入力抵抗 $h_{ie}$に見える。小さなベース電圧 $v_{be}$ をかけると、小さなベース電流 $i_b=v_{be}/h_{ie}$ が流れる。

コレクタは、流したベース電流に比例した電流を吐き出す「電流源」として振る舞う：

$$i_c=h_{fe}{i}_b.$$

$h_{fe}$ は小信号の電流増幅率（直流の $h_{FE}$ とほぼ同じ値）。小さな $i_b$ が大きな $i_c$ を生む——これが増幅の正体。

エミッタ接地の小信号等価回路（h定数モデル）：入力＝抵抗 $h_{ie}$、出力＝電流源 $h_{fe}{i}_b$。

出力電流 $i_c=h_{fe}{i}_b$ を負荷抵抗 $R_L$ に流すと、出力電圧は

$$v_o=i_c{R}_L=h_{fe}{i}_b{R}_L.$$

入力は $v_{be}=h_{ie}{i}_b$ だったので、電圧利得は

$$A_v=\frac{v_o}{v_{be}}=\frac{h_{fe}{i}_b{R}_L}{h_{ie}{i}_b}=h_{fe}\frac{R_L}{h_{ie}}.$$

$h_{fe}$ が大きい（$100$以上）ので、大きな電圧増幅が得られる（エミッタ接地は電圧も電流も増幅できるのが特徴）。

直流でバイアス → そこで動作点・$h_{ie},h_{fe}$ が決まる → 小信号を増幅。 大文字（$I_C,I_B$）＝直流、小文字（$i_c,i_b$）＝小信号の揺れ。直流電源と結合Cは交流等価回路では短絡にする （→§「結合C付きの小信号増幅」と同じ手順）。

ドリル（全問解説つき）

D1（dB）

2段増幅器で1段目$\times 100$倍、2段目$\times 20$倍。総合電圧利得を倍率とdBで答えよ。

倍率は積 $100\times 20=2000$倍。dBは和：$20\log 100+20\log 20=40+(20\log 2+20)=40+26=66\mathrm{dB}$。 （$20\log 2000=20\times 3.30=66$dBと一致。電圧利得なので係数は20。電力と間違えない。）

D2（フィルタ）

$R=1\mathrm{k\Omega }$, $C=0.1\mu \mathrm{F}$ のLPFのカットオフ周波数$f_{\mathrm{c}}$を求めよ。この回路は何を除去するか。

$f_{\mathrm{c}}=\frac{1}{2\pi RC}=\frac{1}{2\pi \times 10^3\times 0.1\times 10^{-6}}=\frac{1}{2\pi \times 10^{-4}}\approx 1.6\mathrm{kHz}$。 LPFなので$f_{\mathrm{c}}$より高い周波数（高周波ノイズ）を除去し、低周波を通す。$f_{\mathrm{c}}$でゲインは$-3$dB、位相は$-45^{\circ }$。

D3（半導体）

n型Siにドナーを$N_D=1.0\times 10^{22}/{\mathrm{m}}^3$添加。多数・少数キャリア密度を求めよ。$n_i=1.5\times 10^{16}/{\mathrm{m}}^3$。

多数キャリア（電子）は $n_n\approx N_D=1.0\times 10^{22}/{\mathrm{m}}^3$。 少数キャリア（ホール）は質量作用則 $n_n{p}_n=n_i^2$ から $p_n=\frac{n_i^2}{n_n}=\frac{(1.5\times 10^{16}{)}^2}{1.0\times 10^{22}}=\frac{2.25\times 10^{32}}{10^{22}}=2.25\times 10^{10}/{\mathrm{m}}^3$。 少数キャリアは桁違いに少ない。温度が上がると$n_i$が増え、少数キャリアも急増する。

D4（LED）

$E=2.7,2.2,1.7\mathrm{eV}$ のLEDの発光波長$\lambda$を求め、色を答えよ。$hc=1.98\times 10^{-25}\mathrm{J}\cdot \mathrm{m}$, $1\mathrm{eV}=1.6\times 10^{-19}\mathrm{J}$。

$\lambda =\frac{hc}{E}$。Eをジュールに直して計算。

$$2.7\mathrm{eV}:\lambda =\frac{1.98\times 10^{-25}}{2.7\times 1.6\times 10^{-19}}\approx 458\mathrm{nm}(青),2.2\mathrm{eV}:\approx 563\mathrm{nm}(緑),1.7\mathrm{eV}:\approx 728\mathrm{nm}(赤).$$

エネルギーが大きい（＝$E_g$が大きい）ほど波長は短く青寄り。「青色LEDの実現＝大きい$E_g$の結晶化が難しかった」が2014年ノーベル賞。

D5（整流）

振幅$5$Vの正弦波をSiダイオードで半波整流したときの出力ピーク値は？ 全波整流＋平滑コンデンサにする利点は？

出力ピークは $5-0.7=4.3\mathrm{V}$（順方向降下$0.7$V）。 全波整流（ブリッジ）は正負両方の半周期を使うので脈流の周波数が2倍になり、平滑コンデンサで充放電すると リップルの小さい滑らかな直流が得られる（AC/DC変換）。

D6（トランジスタ）

あるnpnトランジスタでベース接地電流増幅率$\alpha =0.98$。エミッタ接地電流増幅率$h_{FE}$を求めよ。 また$I_{\mathrm{B}}=20\mu$Aのとき$I_{\mathrm{C}}$と$I_{\mathrm{E}}$を求めよ。

$h_{FE}=\frac{\alpha }{1-\alpha }=\frac{0.98}{1-0.98}=\frac{0.98}{0.02}=49$。 $I_{\mathrm{C}}=h_{FE}{I}_{\mathrm{B}}=49\times 20\mu \mathrm{A}=0.98\mathrm{mA}$。 $I_{\mathrm{E}}=I_{\mathrm{C}}+I_{\mathrm{B}}=0.98+0.02=1.0\mathrm{mA}$（または $I_{\mathrm{E}}=I_{\mathrm{C}}/\alpha =0.98/0.98=1.0$mAでも一致）。 $\alpha$（ベース接地, $\approx 1$）と$h_{FE}$（エミッタ接地, 数十〜千）を取り違えない。

D7（小信号・結合C）

No.3-26の回路（$V_i=2.0$V, $r=10\Omega$, $R=90\Omega$, $R_L=200\Omega$, $r_d=0.026/I_d$）で、 直流の動作点$I_d$と動作抵抗$r_d$、および交流での$R\parallel R_L$を求めよ。

直流は$C$開放で$R_L$を外し、$I_d=\frac{2.0-0.7}{10+90}=13\mathrm{mA}$。 $r_d=\frac{0.026}{0.013}=2.0\Omega$。交流は$C$短絡で$R$と$R_L$が並列： $R\parallel R_L=\frac{90\times 200}{290}\approx 62\Omega$。これを使うと$v_L\approx 0.084\sin \omega t$ V。 直流→C開放／交流→C短絡。直流電源は交流等価回路では短絡する。

過去問完全演習：令和7年度 電子回路A 中間試験

令和7年度の本試験。問題1〜6のうち5問を選択して解答する形式（各大問の配点はタイトルに明記）。 以下は全6問の完全解答。選択するなら、計算が一本道の問題2・問題5と語句で確実に取れる問題1・問題4を優先し、 残り1問を問題3（マス埋め）か問題6（記述）から選ぶのが安全。

知らない言葉が出たらここに戻る。

• ホール（正孔）：電子が抜けたあとの「空席」。プラスの電気をもった粒のように動く（電子が右へ動く＝空席が左へずれる）。

• キャリア：電気を運ぶ粒のこと（電子とホール）。多数キャリア＝主役（数が多い方）、少数キャリア＝脇役（少ない方）。

• ドナー：n型を作るために混ぜる、電子を1個あげる不純物（V＝5族, ヒ素Asなど）。 アクセプタ：p型用の、電子を受け取って空席（ホール）を作る不純物（III＝3族）。「混ぜる」ことをドープという。

• エネルギーバンド図：電子が居られるエネルギーを上下の「階」で描いた図。上の階＝伝導帯（電子が自由に動けて電流になる）、 下の階＝価電子帯（電子が原子につかまって動けない）、その間の電子が居られないすき間＝禁制帯（バンドギャップ）$E_g$。

• 熱励起：熱エネルギーをもらって電子が下の階から上の階へ飛び上がること。

• フェルミ準位 $E_f$：電子の詰まり具合を水に例えたときの「水面」の高さの目安。

• ツェナー降伏：逆向きの電圧を強くかけると急に電流が流れ出す現象の一種（電子が薄いカベをすり抜けるトンネル効果で起こる）。

問題1（穴埋め・各1点 計8点）：半導体とバイポーラトランジスタ

令和7・問題1

半導体は大きく、真性半導体・p型半導体・n型半導体に分類される。n型半導体はSiで構成された真性半導体に  (a) 族の元素を約 (b) %混入することで形成され、多数キャリアは (c) である。 バイポーラトランジスタは3つの端子をもち、その名前を (d) ・(e) ・(f) という。 ただし (d) は他より十分薄く、(f) は多数キャリアが十分大きくなるように製造される。 小さなベース電流で大きなコレクタ電流を制御でき、その割合を $h_{FE}$ と呼び、おおよそ (g) 倍である。 直流バイアスではエミッタ–ベース間がダイオードと等価とみなせ、(h) 方向バイアスとなるよう印加する。

解答：

(a)	V（5）族（ドナー, As等）	(e)	コレクタ（collector）
(b)	約0.01%	(f)	エミッタ（emitter）
(c)	電子（自由電子）	(g)	約100（例 $\alpha =0.99$ で $99$）
(d)	ベース（base）	(h)	順（forward）

n型はV族（5価）のドナー（＝電子を1個余らせる不純物）をごく微量（$0.01\%$程度）混ぜて作り、電気を運ぶ主役は電子。 端子名は（d）が「うすく作る」＝ベース、（f）が「電気を運ぶ粒をうんと多くする」＝エミッタ、残りがコレクタ。 $h_{FE}=\frac{\alpha }{1-\alpha }$ で、$\alpha \simeq 0.99$ なら $h_{FE}\simeq 99\sim 100$。EB間はダイオード等価で順方向にバイアスする。

問題2（各2点 計8点）：結合C付きダイオード小信号回路

令和7・問題2

下図の回路で次に答えよ。$V=2.0$V, $R=100\Omega$, $R_L=5.0\Omega$、$C$は十分大きい、 交流電圧源 $v_{\mathrm{i}}$ は $V$ より十分小さいと仮定し、ダイオード特性は右図の通り。 $C$は直流に対して開放、交流に対して短絡とみなせる。

(1) 直流等価回路の回路方程式から負荷直線を引き、動作点電流 $I_Q$ を求めよ。 (2) 交流に対する動作抵抗 $r_d=\frac{kT}{e{I}_Q}$ を有効2桁で（$k=1.38\times 10^{-23}$J/K, $T=400$K, $e=1.6\times 10^{-19}$C）。 (3) 交流等価回路を描け。 (4) $R_L$ の電圧を出力としたときの交流ゲイン $\left|v_{\mathrm{o}}/v_{\mathrm{i}}\right|$ をdBで有効2桁で。

結合 $C$ があるので直流→C開放／交流→C短絡で分けて解く。直流で動作点（＝ダイオードが落ち着く電流・電圧の組）$I_Q$ と 動作抵抗 $r_d$（＝小さな信号に対してダイオードがどれだけ抵抗に見えるか）を出し、 交流ではダイオードを $r_d$、直流電源 $V$ と $C$ を短絡に置き換えて増幅率を計算する（本編§9と同じ一本道）。 負荷直線＝回路の式 $I_D=(V-V_d)/R$ を特性グラフに重ねた直線で、特性曲線との交点が動作点。

残るのは $V$–ダイオード–$R$ の直列。回路方程式は

$$V=V_d+I_{D}R⟹I_D=\frac{V-V_d}{R}=-\frac{V_d}{100}+\frac{2}{100}=-10V_d+20[\mathrm{mA}].$$

これが負荷直線（$V_d=0$で$20$mA、$V_d=2$V で$0$）。特性曲線との交点を読むと

動作点 $V_d\simeq 0.95\mathrm{V}$,$I_Q\simeq 11\mathrm{mA}$（読み取り誤差は許容）。

(2) 動作抵抗。

$$r_d=\frac{kT}{e{I}_Q}=\frac{1.38\times 10^{-23}\times 400}{1.6\times 10^{-19}\times 11\times 10^{-3}}=\frac{5.52\times 10^{-21}}{1.76\times 10^{-21}}.$$

$r_d\simeq 3.1\Omega$（有効2桁）。

$v_{\mathrm{i}}$–$r_d$ の直列の先に$R$と$R_L$が並列でぶら下がり、 $v_{\mathrm{o}}$ はその並列部（$=R_L$両端）の電圧。

まず並列合成と全直列抵抗。

$$R\parallel R_L=\frac{R{R}_L}{R+R_L}=\frac{100\times 5}{105}=\frac{500}{105}\simeq 4.76\Omega ,R_T=r_d+(R\parallel R_L)=3.1+4.76\simeq 7.9\Omega .$$

電流 $i=v_{\mathrm{i}}/R_T$、出力は並列部の電圧 $v_{\mathrm{o}}=i(R\parallel R_L)$ だから

$$\left|\frac{v_{\mathrm{o}}}{v_{\mathrm{i}}}\right|=\frac{R\parallel R_L}{R_T}=\frac{4.76}{7.9}\simeq 0.60,20{\log }_{10}(0.60)=20\times (-0.222).$$

$G_v=20\log \left|\frac{v_{\mathrm{o}}}{v_{\mathrm{i}}}\right|\simeq -4.4\mathrm{dB}$（有効2桁）。

直流で $R_L$ を外すのを忘れない（負荷直線が $R$ だけで決まる）。$r_d$ は動作点 $I_Q$ の電流で計算（$T=400$Kなので $26$mV/$I$ ではなく $kT/eI$ をそのまま代入）。ゲインは $1$ より小さい（$0.60$）のでdBは負になる。

問題3（各マス1点 計8点）：ダイオード論理回路（AND）

出力（単位：V）
$V_1$	$V_2$	$V_3$
(降下0V)
(降下0.7V)
0	0	10	0	0.7
0	10	10	0	0.7
10	10	10	10	10
5	5	5	5	5.7

$+10$Vからプルアップ抵抗 $R$ で持ち上げた共通ノードに、各入力へ向けてダイオード（アノードが共通ノード側）がつながる。 最も低い入力につながるダイオードが導通し、共通ノードをその最低入力＋ダイオード電圧降下 $V_F$ にクランプする（AND＝最小値回路）。

$$V_o=\min (V_1,V_2,V_3)+V_F(\text{ただし供給電圧 }10\text{Vが上限}).$$

$V_{o1}$（$V_F=0$）$=\min$： $0,0,10,5$. $V_{o2}$（$V_F=0.7$）$=\min +0.7$： $0.7,0.7,10,5.7$.

「入力が全部$5$Vなのに、出力が$5.7$V？」という疑問への答え。 ポイントはダイオードは導通中も「ただの導線」ではないこと。電流が流れていても、アノード側はカソード側より$0.7$V高いまま保たれる。

このANDゲートではアノード＝共通ノード（出力）側、カソード＝入力側。だから出力ノードは入力より$0.7$V高い位置にクランプされる。 電圧を一歩ずつたどると：

$$\underset{\text{入力(カソード)}}{\underbrace{5\text{V}}}\stackrel{\text{ダイオードで}+0.7\text{V}}{\to }\underset{\text{出力ノード(アノード)}}{\underbrace{5.7\text{V}}}.$$

$+10$Vからの電流は $10\text{V}\to R\to \text{出力ノード}\to \text{ダイオード}\to 5\text{V入力}$ と流れる。 出力ノードが$5.7$Vに達するとダイオードが導通してそこで止まる（それ以上は上がれない）。残りの $10-5.7=4.3$V は$R$が引き受ける。

ダイオードを理想（電圧降下$0$V）とみなすと、出力＝入力＝$5$Vになる（これが左の列 $V_{o1}$）。 実際のダイオードは$0.7$V落ちるので、そのぶん出力が$0.7$V高く持ち上がって$5.7$Vになる。 「降下するなら下がるのでは？」と感じるが、降下するのはダイオードを通り抜ける向きの話。出力ノードはカソード（入力）から見てアノード側＝高い側なので、$0.7$V高くなる。 （出力が入力より下がるのはOR回路の話。OR回路はダイオードの向きが逆で「最大入力$-0.7$V」になる。混同しないこと。）

3行目・4行目を $\min -0.7$（$9.3,4.3$）としてしまう。 ANDのダイオード降下は出力を最低入力より$0.7$V上げる（下げない）。

3行目は全入力が$10$V＝供給と同じなのでどのダイオードも導通せず（$10+0.7=10.7$Vは供給を超えられない）、出力は$R$でプルアップされて$10$Vのまま。 4行目は $5+0.7=5.7$V。OR回路（最大値$-V_F$）と混同しないこと。

問題4（○×・各2点 計8点）

文	正誤	理由
1	$◯$	ツェナー降伏（逆電圧で急に電流が流れ出す現象）は不純物を混ぜた量が多いほど、キャリアのない層が薄くなって電気の力（電界）が強まり、低い逆電圧でも起こりやすい。
2	$\times$	ホール（正孔＝電子の「空席」）はちゃんと存在する（プラスの粒のように振る舞う）。しかも動きやすさは電子より小さく、ふつう電子より遅い。文は二重に誤り。
3	$\times$	ON電圧（電流が流れ始める電圧）は温度が上がると下がる（約$-2$mV/${}^{\circ }$C）。「温度が下がると下がる」は向きが逆。
4	$◯$	部品を小さく詰める（集積化）と、配線どうしが勝手に作る小さなコンデンサ（浮遊容量）が減り、配線も短くなるので信号の遅れが減り応答が速くなる。

$\times$の文は「どこが誤りか」を一言で言えるように。2は「存在しない／質量ゼロ／電子より速い」が三重に誤り、 3は温度依存の向きが逆。1・4の○は理由（濃度↑で降伏しやすい／集積化で速くなる）まで押さえる。

問題5（各2点）：RCフィルタ（HPF）とコイル置換

令和7・問題5（$R=1.0$k$\Omega$）

(1) この回路はLPFかHPFか。(2) カットオフ周波数 $f_{\mathrm{c}}$ をグラフ（${\omega }_{\mathrm{c}}=10^4$rad/s）から読み取れ。 (3) $C$ の値を求めよ。(4) $C$ を $L=5.0$mH に取り替えたときのゲインの周波数特性をグラフに示せ。

(1) $C$が直列・$R$が並列（出力は$R$両端）。低周波で$C$が高インピーダンス→通さない、高周波で通す。よってHPF（高域通過）。

(2) グラフより ${\omega }_{\mathrm{c}}=10^4$rad/s。

$$f_{\mathrm{c}}=\frac{{\omega }_{\mathrm{c}}}{2\pi }=\frac{10^4}{2\pi }\simeq 1.6\times 10^3\mathrm{Hz}(\approx 1592\mathrm{Hz}).$$

(3) HPFのカットオフは ${\omega }_{\mathrm{c}}=\frac{1}{RC}$。$R=1.0\mathrm{k}\Omega =10^3\Omega$ だから

$$C=\frac{1}{{\omega }_{\mathrm{c}}R}=\frac{1}{10^4\times 10^3}=10^{-7}\mathrm{F}.$$

$C=1.0\times 10^{-7}\mathrm{F}=0.1\mu F$.（単位に注意：$0.1$F ではなく $0.1\mu$F）

(4) $C\to L$ にすると$L$直列・$R$並列＝LPFに変わる。伝達関数と振幅は

$$\frac{v_{\mathrm{o}}}{v_{\mathrm{i}}}=\frac{R}{R+j\omega L},\left|\frac{v_{\mathrm{o}}}{v_{\mathrm{i}}}\right|=\frac{1}{\sqrt{1+{\left(\frac{\omega L}{R}\right)}^2}}.$$

新しいカットオフは $\frac{\omega L}{R}=1$ すなわち

$${\omega }_{\mathrm{c}}^{\prime }=\frac{R}{L}=\frac{10^3}{5.0\times 10^{-3}}=2.0\times 10^{5}rad/s.$$

グラフは$\omega <{\omega }_{\mathrm{c}}^{\prime }$で$0$dB平坦、${\omega }_{\mathrm{c}}^{\prime }=2\times 10^5$rad/sで$-3$dB、それ以降$-20$dB/decで下降（上図オレンジ線）。

（1）は直列素子で判別：直列が$C$ならHPF、直列が$L$ならLPF（高周波で$L$が効いて遮断）。 （3）の単位ミス（$\mu$忘れ）は頻出。（4）は$C$→$L$でフィルタの種類が反転し、${\omega }_{\mathrm{c}}^{\prime }=R/L$ になる点が山。

問題6（6点）：真性半導体で $n\simeq p$ をバンド図で説明

真性半導体（＝不純物を混ぜていない純粋な半導体）には電気を運ぶ粒がもともと無く、 熱をもらって電子が下の階（価電子帯）から上の階（伝導帯）へ飛び上がったぶんだけ電流を運べるようになる。 このとき電子が1個上がると、もとに居た場所に必ず「空席（ホール）」が1個できる。 電子とホールは必ずペアで生まれるので、上に上がった電子の数 $n$ と下に残ったホールの数 $p$ は常に等しい：

$$n=p=n_i.$$

電子の詰まり具合の「水面」（フェルミ準位 $E_f$）も、上下の階のちょうど真ん中にくる。

言いたいことは1つ：「電子が上の階へ飛び上がると、下に空席（ホール）が必ず同じ数できる＝ペアで生まれるから $n=p$」。 図には上の階・下の階・すき間 $E_g$・水面 $E_f$を描き、飛び上がる電子（上）と残る空席（下）を矢印でペアにして示せば満点。

試験直前の見直しリスト

☐  dBは電圧/電流=20, 電力=10、常用対数。$\times 2=+6$, $1/\sqrt{2}=-3$dB。

☐  LPF/HPFの$v_{\mathrm{o}}/v_{\mathrm{i}}$を自力で導出（$1/j\omega C$から）。$f_{\mathrm{c}}=1/2\pi RC$。

☐  ボード線図：LPFは$-20$dB/dec、HPFは$+20$dB/dec、折れ点で$-3$dB・$\pm 45^{\circ }$。

☐  半導体：多数/少数キャリア、$np=n_i^2$、温度↑で抵抗↓。穴埋め語句（空乏層・内蔵電位・整流・降伏）も。

☐  ダイオード：$0.7$V降下、整流、負荷直線で動作点、$r_d=26\text{mV}/I$。

☐  結合C回路は直流→C開放、交流→C短絡で分けて解く。直流で$r_d$→交流で増幅。

☐  トランジスタ：$n_E\gg p_B>n_C$、ベース薄く、EB順・CB逆、$I_{\mathrm{C}}=h_{FE}{I}_{\mathrm{B}}$, $h_{FE}=\frac{\alpha }{1-\alpha }$。

☐  接地法3種（エミッタ／コレクタ／ベース）の入力・出力端子。矢印＝エミッタ。

☐  単位（V, mA, Hz, m${}^{-3}$）と有効数字を忘れない。導出過程を必ず書く。

出典

（出典: 1_Filter.pdf（dB・RCフィルタ・ボード線図・BPF・フィルタ設計）） （出典: 2_Semicon.pdf（半導体分類・真性/p/n型・バンド図・温度依存）） （出典: 3_Diode_part1〜3.pdf（pn接合・空乏層・整流・I-V・降伏/ツェナー・LED・論理回路・負荷直線・小信号等価回路・結合C演習・多ダイオード回路・過去問穴埋め）） （出典: 4_Trans_part1.pdf（トランジスタの分類・拡散長・npn構造と動作原理・回路記号と型番・電流増幅率・接地法）） （出典: いずれも 電子回路A 配布資料, Dr. Dai OIKAWA, 豊田工業高等専門学校） （出典: 過去問完全演習：令和7年度 電子回路A 中間試験（問題1〜6, 選択5問形式））