交流回路 小テスト4「四端子回路パラメータ・接続」対策

100点チェックリスト

2 [3つのパラメータの式]

☐ Z行列 $\left[\begin{array}{c}{\dot{V}}_1\\ {\dot{V}}_2\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}{Z}_{11}& Z_{12}\\ Z_{21}& Z_{22}\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{\dot{I}}_1\\ {\dot{I}}_2\end{array}\right]$ を書ける

☐ Y行列 $\left[\begin{array}{c}{\dot{I}}_1\\ {\dot{I}}_2\end{array}\right]=[Y]\left[\begin{array}{c}{\dot{V}}_1\\ {\dot{V}}_2\end{array}\right]$， $[Y]=[Z{]}^{-1}$ と言える

☐ F行列 $\left[\begin{array}{c}{\dot{V}}_1\\ {\dot{I}}_1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}A& B\\ C& D\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{\dot{V}}_2\\ -{\dot{I}}_2\end{array}\right]$（出力の向き）を書ける

[相互変換]

☐ Z$\to$F：$A=\frac{Z_{11}}{Z_{21}},B=\frac{\det Z}{Z_{21}},C=\frac{1}{Z_{21}},D=\frac{Z_{22}}{Z_{21}}$ を導ける

☐ F$\to$Z：$Z_{11}=\frac{A}{C},Z_{12}=\frac{1}{C},Z_{21}=\frac{1}{C},Z_{22}=\frac{D}{C}$ を使える

☐ Z$\leftrightarrow$Y は逆行列で行き来できる

☐ $2\times 2$ の逆行列公式（$\frac{1}{\det }$，対角入替・非対角符号反転）を書ける

[接続則]

☐ 縦続（カスケード）＝F の積

☐ 並列接続＝Y の和（電圧を共有するから）

☐ 直列接続＝Z の和（電流が共通だから）

[出力インピーダンス]

☐ ${\dot{Z}}_{\mathrm{out}}=\frac{D{\dot{Z}}_n+B}{C{\dot{Z}}_n+A}$ を導出できる

☐ 直列 $R$ の $F=\left[\begin{array}{cc}1& R\\ 0& 1\end{array}\right]$ を代入して ${\dot{Z}}_{\mathrm{out}}={\dot{Z}}_n+R$ を出せる

☐ 相反回路は $AD-BC=1$，$\det Z=Z_{11}{Z}_{22}-Z_{12}{Z}_{21}$ で検算できる

出題型の地図（この2題が出る）

型	何をする問題か	使う道具
問1 変換・接続	逆L型（直列$L$＋並列$R$）で Z$\to$F 変換式の導出，F行列，F$\to$Z，Z$\to$Y（逆行列），並列接続の[Y]，直列接続の[Z]	道具1〜5
問2 出力インピーダンス	F行列から ${\dot{Z}}_{\mathrm{out}}=\frac{D{\dot{Z}}_n+B}{C{\dot{Z}}_n+A}$ を導出，直列$R$を代入，${\dot{Z}}_n=0$の極限	道具1・6

道具箱：これだけで全問解ける

道具1：3つのパラメータは「何を何で表すか」が違うだけ。
同じ四端子回路でも、入力・出力の電圧電流のどれを「原因」に選ぶかで3通りの行列表現がある。

$$\underset{\text{Z：電流}\to \text{電圧}}{\underbrace{\left[\begin{array}{c}{\dot{V}}_1\\ {\dot{V}}_2\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}{Z}_{11}& Z_{12}\\ Z_{21}& Z_{22}\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{\dot{I}}_1\\ {\dot{I}}_2\end{array}\right]}}\underset{\text{Y：電圧}\to \text{電流}}{\underbrace{\left[\begin{array}{c}{\dot{I}}_1\\ {\dot{I}}_2\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}{Y}_{11}& Y_{12}\\ Y_{21}& Y_{22}\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{\dot{V}}_1\\ {\dot{V}}_2\end{array}\right]}}$$

$$\underset{\text{F：出力}\to \text{入力（縦続用）}}{\underbrace{\left[\begin{array}{c}{\dot{V}}_1\\ {\dot{I}}_1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}A& B\\ C& D\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{\dot{V}}_2\\ -{\dot{I}}_2\end{array}\right]}}$$

Z と Y は電圧と電流を入れ替えた関係なので、$[Y]=[Z{]}^{-1}$（互いに逆行列）。 F は「出力側で入力側を表す」形で、${\dot{I}}_2$ の向きは負荷へ出ていく向きにとるので $-{\dot{I}}_2$ が入る。

$$M=\left[\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right]⟹M^{-1}=\frac{1}{\det M}\left[\begin{array}{cc}d& -b\\ -c& a\end{array}\right],\det M=ad-bc.$$

対角（$a,d$）を入れ替え、非対角（$b,c$）は符号反転、全体を $\det$ で割る。 $[Y]=[Z{]}^{-1}$ なので、$\det Z=Z_{11}{Z}_{22}-Z_{12}{Z}_{21}$ を先に出すのが第一歩。

Z $\to$ F	F $\to$ Z
$A=\frac{Z_{11}}{Z_{21}},B=\frac{Z_{11}{Z}_{22}-Z_{12}{Z}_{21}}{Z_{21}}$	$Z_{11}=\frac{A}{C},Z_{12}=\frac{AD-BC}{C}$
$C=\frac{1}{Z_{21}},D=\frac{Z_{22}}{Z_{21}}$	$Z_{21}=\frac{1}{C},Z_{22}=\frac{D}{C}$

相反回路では $AD-BC=1$ なので、F$\to$Z の $Z_{12}=\frac{AD-BC}{C}=\frac{1}{C}=Z_{21}$（対称）。 どちらの向きも「分母が $Z_{21}$ または $C$」と覚える（下段の導出は問1(1)で全部やる）。

つなぎ方	操作	なぜ？
縦続（カスケード）	$F=F_1{F}_2$（積）	前段の出力＝後段の入力。行列を信号順に掛ける
並列	$Y=Y_1+Y_2$（和）	両回路が同じ端子電圧を共有 $\Rightarrow$ 電流が足し算 $\Rightarrow$ Y が加算
直列	$Z=Z_1+Z_2$（和）	両回路に同じ電流が流れる $\Rightarrow$ 電圧が足し算 $\Rightarrow$ Z が加算

**覚え方：**並列は電圧共通だから「電圧→電流」の Y を足す。直列は電流共通だから「電流→電圧」の Z を足す。 足す相手＝共通でない量を出すパラメータ。

$$\text{相反（R,L,C だけの回路）}\Rightarrow \boxed{AD-BC=1},Z_{12}=Z_{21},Y_{12}=Y_{21}.$$

答えが出たら必ずこれで検算する。$Z_{12}\ne Z_{21}$ や $AD-BC\ne 1$ なら計算ミス。

道具6：出力インピーダンス ${\dot{Z}}_{\mathrm{out}}$ とは。
入力側に電源の内部インピーダンス ${\dot{Z}}_n$ をつなぎ電源を殺した（$\dot{V}=0$）状態で、 出力端子2–2${}^{\prime }$ から回路側を見たインピーダンス。定義は ${\dot{Z}}_{\mathrm{out}}=\frac{{\dot{V}}_2}{-{\dot{I}}_2}$ （出力から回路へ電流を押し込む向き）。F行列を出力について解くと $A,B,C,D,{\dot{Z}}_n$ だけで書ける（問2(1)）。

パラメータ・チートシート（暗記カード）

回路	F行列	覚え方・検算
直列インピーダンス $\dot{Z}$	$\left[\begin{array}{cc}1& \dot{Z}\\ 0& 1\end{array}\right]$	右上だけ $\dot{Z}$。電流は素通り。$AD-BC=1$
並列インピーダンス $\dot{Z}$	$\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ 1/\dot{Z}& 1\end{array}\right]$	左下だけ $1/\dot{Z}$（アドミタンス）。電圧は素通り
逆L型（直列${\dot{Z}}_1$＋並列${\dot{Z}}_2$）	$\left[\begin{array}{cc}1+{\dot{Z}}_1/{\dot{Z}}_2& {\dot{Z}}_1\\ 1/{\dot{Z}}_2& 1\end{array}\right]$	直列$\times$並列の積。本番の問1の回路

接続の取り違えが最頻ミス。「並列なのに Z を足す」「直列なのに F を掛ける」は不可。 並列=Y の和、直列=Z の和、縦続=F の積。混ざったら道具4の「なぜ」（電圧共通か電流共通か）に戻る。 複素数は $\frac{1}{j\omega L}=-\frac{j}{\omega L}$、$\frac{1}{-j5}=\frac{j}{5}$ のように逆数で $j$ の位置を必ず直す。

過去問 完全解説

問1　対象回路（逆L型：直列 $L$ ＋ 並列 $R$）

問1（出典: R7 前学期・小テスト4／交流回路 四端子回路／光本先生／7月9日(水)／電卓可・達成度目標 ケ）

右図の回路（直列にコイル $L[\mathrm{H}]$、その後に並列に抵抗 $R[\Omega ]$ をつないだ逆L型四端子回路）について、 (1) Zパラメータを Fパラメータへ変換する式を導け。(2) この回路の F行列 $[F]$ を求めよ。 (3) (1)を利用して Z行列 $[Z]$ を求めよ。(4) (3)を利用して Y行列 $[Y]$ を求めよ。 (5) この回路を2つ並列接続したときの全体の $[Y]$ を求めよ。 (6) この回路を2つ直列接続したときの全体の $[Z]$ を求めよ。

(1) Zパラメータ $\to$ Fパラメータの変換式

**方針：**Zパラメータの定義式は電流 ${\dot{I}}_1,{\dot{I}}_2$ が原因の形。 Fパラメータは出力 ${\dot{V}}_2,-{\dot{I}}_2$ で入力 ${\dot{V}}_1,{\dot{I}}_1$ を表す形。だから Z の2式を「${\dot{V}}_2,{\dot{I}}_2$ を使って ${\dot{V}}_1,{\dot{I}}_1$ を書く」形に並べ替えるだけでよい。

**解法（全ステップ）：**Zパラメータの定義は

$${\dot{V}}_1=Z_{11}{\dot{I}}_1+Z_{12}{\dot{I}}_2\cdots \text{(a)},{\dot{V}}_2=Z_{21}{\dot{I}}_1+Z_{22}{\dot{I}}_2\cdots \text{(b)}.$$

Step 1. (b) を ${\dot{I}}_1$ について解く。${\dot{V}}_2=Z_{21}{\dot{I}}_1+Z_{22}{\dot{I}}_2$ より

$$Z_{21}{\dot{I}}_1={\dot{V}}_2-Z_{22}{\dot{I}}_2⟹{\dot{I}}_1=\frac{1}{Z_{21}}{\dot{V}}_2-\frac{Z_{22}}{Z_{21}}{\dot{I}}_2.$$

F の下段 ${\dot{I}}_1=C{\dot{V}}_2+D(-{\dot{I}}_2)$ と見比べる。$-{\dot{I}}_2$ の係数が $D$ なので

$$\boxed{C=\frac{1}{Z_{21}}},\boxed{D=\frac{Z_{22}}{Z_{21}}}\left(-\frac{Z_{22}}{Z_{21}}{\dot{I}}_2=\frac{Z_{22}}{Z_{21}}(-{\dot{I}}_2)\right).$$

Step 2. Step 1 の ${\dot{I}}_1$ を (a) に代入して ${\dot{V}}_1$ を ${\dot{V}}_2,{\dot{I}}_2$ で書く。

$${\dot{V}}_1=Z_{11}{\dot{I}}_1+Z_{12}{\dot{I}}_2=Z_{11}\left(\frac{{\dot{V}}_2}{Z_{21}}-\frac{Z_{22}}{Z_{21}}{\dot{I}}_2\right)+Z_{12}{\dot{I}}_2.$$

${\dot{V}}_2$ の項と ${\dot{I}}_2$ の項に整理する。

$${\dot{V}}_1=\frac{Z_{11}}{Z_{21}}{\dot{V}}_2+\left(Z_{12}-\frac{Z_{11}{Z}_{22}}{Z_{21}}\right){\dot{I}}_2=\frac{Z_{11}}{Z_{21}}{\dot{V}}_2-\frac{Z_{11}{Z}_{22}-Z_{12}{Z}_{21}}{Z_{21}}{\dot{I}}_2.$$

（$Z_{12}-\frac{Z_{11}{Z}_{22}}{Z_{21}}=\frac{Z_{12}{Z}_{21}-Z_{11}{Z}_{22}}{Z_{21}}=-\frac{Z_{11}{Z}_{22}-Z_{12}{Z}_{21}}{Z_{21}}$ とまとめた。） F の上段 ${\dot{V}}_1=A{\dot{V}}_2+B(-{\dot{I}}_2)$ と見比べて

$$\boxed{A=\frac{Z_{11}}{Z_{21}},B=\frac{Z_{11}{Z}_{22}-Z_{12}{Z}_{21}}{Z_{21}},C=\frac{1}{Z_{21}},D=\frac{Z_{22}}{Z_{21}}}$$

（$B$ の分子は $\det Z$。$-{\dot{I}}_2$ の係数として現れるので符号が合う。）

分母は全部 $Z_{21}$。ここが変換式の核。$B=\frac{\det Z}{Z_{21}}$ で $\det Z=Z_{11}{Z}_{22}-Z_{12}{Z}_{21}$。 $F$ の定義で$-{\dot{I}}_2$ の向きを忘れると $B,D$ の符号を落とす。検算：この $A,B,C,D$ は $AD-BC=\frac{Z_{11}{Z}_{22}}{Z_{21}^2}-\frac{(Z_{11}{Z}_{22}-Z_{12}{Z}_{21})}{Z_{21}^2}=\frac{Z_{12}{Z}_{21}}{Z_{21}^2}=\frac{Z_{12}}{Z_{21}}$。 相反（$Z_{12}=Z_{21}$）なら $AD-BC=1$ 。

(2) この回路の F行列

**方針：**逆L型＝「直列 ${\dot{Z}}_1=j\omega L$」の後に「並列 ${\dot{Z}}_2=R$」を縦続したもの。 縦続はF の積（道具4）。基本素子のF行列（チートシート）を信号順に掛ける。

解法：

$$[F]=\underset{\text{直列 }j\omega L}{\underbrace{\left[\begin{array}{cc}1& j\omega L\\ 0& 1\end{array}\right]}}\underset{\text{並列 }R}{\underbrace{\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ 1/R& 1\end{array}\right]}}.$$

行列の積（左上$=1\cdot 1+j\omega L\cdot \frac{1}{R}$、右上$=1\cdot 0+j\omega L\cdot 1$、左下$=0+1\cdot \frac{1}{R}$、右下$=0+1$）：

$$\boxed{[F]=\left[\begin{array}{cc}1+\frac{j\omega L}{R}& j\omega L\\ \frac{1}{R}& 1\end{array}\right]}AD-BC=(1+\frac{j\omega L}{R})-j\omega L\cdot \frac{1}{R}=1✓$$

掛ける順番は信号の流れる順（入力側が左）。逆にすると正L型になり別物。 コイルは必ず $j\omega L$（実数 $L$ のままにしない）。次で使うので $C=\frac{1}{R}$ を覚えておく。

(3) (1)を利用して Z行列

方針：(1)は Z$\to$F だった。ここは逆にF$\to$Z（道具3の右列）。(2)で出た $A,B,C,D$ を入れる。

解法：$C=\frac{1}{R}$ なので $\frac{1}{C}=R$。相反だから $AD-BC=1$。

$$Z_{11}=\frac{A}{C}=R(1+\frac{j\omega L}{R})=R+j\omega L,Z_{12}=\frac{AD-BC}{C}=\frac{1}{C}=R,$$

$$Z_{21}=\frac{1}{C}=R,Z_{22}=\frac{D}{C}=R\cdot 1=R.$$

$$\boxed{[Z]=\left[\begin{array}{cc}R+j\omega L& R\\ R& R\end{array}\right]}{Z}_{12}=Z_{21}=R✓(\text{相反})$$

$Z_{11}=\frac{A}{C}=A\cdot \frac{1}{C}=AR$ のように$\frac{1}{C}=R$ を掛けるのがコツ。 $Z_{12}=\frac{AD-BC}{C}$ は相反なら分子が $1$ なので $\frac{1}{C}=R$。 物理的にも：出力開放（${\dot{I}}_2=0$）で入力から見ると $L$ と $R$ の直列 $\Rightarrow Z_{11}=R+j\omega L$、 と一致する。

(4) (3)を利用して Y行列（逆行列）

方針：$[Y]=[Z{]}^{-1}$。道具2の $2\times 2$ 逆行列公式に (3) の $[Z]$ を入れる。まず $\det Z$。

解法：

$$\det Z=Z_{11}{Z}_{22}-Z_{12}{Z}_{21}=(R+j\omega L)R-R\cdot R=R^2+j\omega LR-R^2=j\omega LR.$$

逆行列公式（対角入替・非対角符号反転・$\det$ で割る）：

$$[Y]=\frac{1}{\det Z}\left[\begin{array}{cc}{Z}_{22}& -Z_{12}\\ -Z_{21}& Z_{11}\end{array}\right]=\frac{1}{j\omega LR}\left[\begin{array}{cc}R& -R\\ -R& R+j\omega L\end{array}\right].$$

各成分を約分する（$\frac{R}{j\omega LR}=\frac{1}{j\omega L}$ など）：

$$\boxed{[Y]=\left[\begin{array}{cc}\frac{1}{j\omega L}& -\frac{1}{j\omega L}\\ -\frac{1}{j\omega L}& \frac{1}{j\omega L}+\frac{1}{R}\end{array}\right]}$$

右下：$\frac{R+j\omega L}{j\omega LR}=\frac{R}{j\omega LR}+\frac{j\omega L}{j\omega LR}=\frac{1}{j\omega L}+\frac{1}{R}$。

逆行列は対角（$Z_{11}\leftrightarrow Z_{22}$）を入れ替え、非対角にマイナスを付け、$\det Z$ で割る。 $\det Z=j\omega LR$ の $R^2$ が消えるところがヤマ。$\frac{1}{j\omega L}=-\frac{j}{\omega L}$ と書いてもよい。 検算 $Y_{12}=Y_{21}=-\frac{1}{j\omega L}$（相反）。

(5) 2つ並列接続したときの全体 $[Y]$

方針：並列接続は Y の和（道具4）。同じ回路を2つなので $[Y{]}_{\text{全}}=[Y]+[Y]=2[Y]$。

**解法：**なぜ和になるか——並列だと両回路は同じ端子電圧 ${\dot{V}}_1,{\dot{V}}_2$を共有し、 入力電流はそれぞれの枝を流れる電流の足し算になる。$\dot{I}=Y\dot{V}$ なので、 同じ $\dot{V}$ に対して電流が足されるということは $Y$ が足される：

$$\left[\begin{array}{c}{\dot{I}}_1\\ {\dot{I}}_2\end{array}\right]=[Y{]}_a\left[\begin{array}{c}{\dot{V}}_1\\ {\dot{V}}_2\end{array}\right]+[Y{]}_b\left[\begin{array}{c}{\dot{V}}_1\\ {\dot{V}}_2\end{array}\right]=([Y{]}_a+[Y{]}_b)\left[\begin{array}{c}{\dot{V}}_1\\ {\dot{V}}_2\end{array}\right].$$

本問は $[Y{]}_a=[Y{]}_b=[Y]$ だから

$$\boxed{[Y{]}_{\text{全}}=2[Y]=\left[\begin{array}{cc}\frac{2}{j\omega L}& -\frac{2}{j\omega L}\\ -\frac{2}{j\omega L}& \frac{2}{j\omega L}+\frac{2}{R}\end{array}\right]}$$

ここでZ を足してはいけない。並列は電圧共通だから Y の和。うっかり (3) の $[Z]$ を2倍しないこと。 右下も両項を2倍：$2(\frac{1}{j\omega L}+\frac{1}{R})=\frac{2}{j\omega L}+\frac{2}{R}$。

(6) 2つ直列接続したときの全体 $[Z]$

方針：直列接続は Z の和（道具4）。$[Z{]}_{\text{全}}=[Z]+[Z]=2[Z]$。

**解法：**直列だと両回路に同じ電流 ${\dot{I}}_1,{\dot{I}}_2$が流れ、端子電圧はそれぞれの電圧の足し算。 $\dot{V}=Z\dot{I}$ なので、同じ $\dot{I}$ に対して電圧が足されるから $Z$ が足される。よって

$$\boxed{[Z{]}_{\text{全}}=2[Z]=\left[\begin{array}{cc}2R+j2\omega L& 2R\\ 2R& 2R\end{array}\right]}$$

(5)は Y の和、(6)は Z の和。並列$\to$Y・直列$\to$Zを取り違えないのがこの問題の全て。 $2(R+j\omega L)=2R+j2\omega L$ と両項に2。$Z_{12}=Z_{21}=2R$ で対称も保たれている。

問2　出力インピーダンス ${\dot{Z}}_{\mathrm{out}}$

問2（出典: R7 前学期・小テスト4／交流回路 四端子回路／光本先生）

Fパラメータが $A,B,C,D$ で表される四端子回路の入力側に電源インピーダンス ${\dot{Z}}_n$ を接続する。 (1) 右から見た出力インピーダンス ${\dot{Z}}_{\mathrm{out}}$ を $A,B,C,D,{\dot{Z}}_n$ で表す式を導け。 (2) 左図（直列 $R[\Omega ]$ だけの回路）の F行列 $[F]$ を求めよ。 (3) (2)の回路を(1)の四端子回路として用いたときの ${\dot{Z}}_{\mathrm{out}}$ を求めよ。 (4) ${\dot{Z}}_n=0$ のとき ${\dot{Z}}_{\mathrm{out}}$ はいくらか。

(1) ${\dot{Z}}_{\mathrm{out}}$ の導出

方針：${\dot{Z}}_{\mathrm{out}}$ は出力端子 2–2${}^{\prime }$ から回路を見たインピーダンス ${\dot{Z}}_{\mathrm{out}}=\frac{{\dot{V}}_2}{-{\dot{I}}_2}$。 F の定義式で入力 ${\dot{V}}_1,{\dot{I}}_1$ を出力で書けているので、入力端に付いた ${\dot{Z}}_n$ の関係 ${\dot{V}}_1=-{\dot{Z}}_n{\dot{I}}_1$ を代入して ${\dot{V}}_2,{\dot{I}}_2$ の比に持ち込む。

**解法（全ステップ）：**F の定義（${\dot{I}}_2$ の向きに注意し $-{\dot{I}}_2$ で書く）

$${\dot{V}}_1=A{\dot{V}}_2+B(-{\dot{I}}_2)=A{\dot{V}}_2-B{\dot{I}}_2,{\dot{I}}_1=C{\dot{V}}_2+D(-{\dot{I}}_2)=C{\dot{V}}_2-D{\dot{I}}_2.$$

Step 1. 入力端の条件を入れる。入力側は電源を殺した ${\dot{Z}}_n$ だけなので、 入力端子から見ると ${\dot{V}}_1$ と ${\dot{I}}_1$ は ${\dot{Z}}_n$ で結ばれる。電流の向きをそろえると

$${\dot{V}}_1=-{\dot{Z}}_n{\dot{I}}_1$$

（${\dot{I}}_1$ は回路へ入る向き、${\dot{Z}}_n$ にはその逆向きに電圧が立つので符号が付く）。

Step 2. Step 1 に上の2式を代入。

$$\underset{{\dot{V}}_1}{\underbrace{A{\dot{V}}_2-B{\dot{I}}_2}}=-{\dot{Z}}_n\underset{{\dot{I}}_1}{\underbrace{(C{\dot{V}}_2-D{\dot{I}}_2)}}.$$

展開して ${\dot{V}}_2,{\dot{I}}_2$ で整理する。

$$A{\dot{V}}_2-B{\dot{I}}_2=-{\dot{Z}}_{n}C{\dot{V}}_2+{\dot{Z}}_{n}D{\dot{I}}_2⟹A{\dot{V}}_2+{\dot{Z}}_{n}C{\dot{V}}_2=B{\dot{I}}_2+{\dot{Z}}_{n}D{\dot{I}}_2.$$

$$(A+{\dot{Z}}_{n}C){\dot{V}}_2=(B+{\dot{Z}}_{n}D){\dot{I}}_2.$$

Step 3. ${\dot{Z}}_{\mathrm{out}}=\frac{{\dot{V}}_2}{-{\dot{I}}_2}$ を作る。

$$\frac{{\dot{V}}_2}{{\dot{I}}_2}=\frac{B+{\dot{Z}}_{n}D}{A+{\dot{Z}}_{n}C}⟹{\dot{Z}}_{\mathrm{out}}=\frac{{\dot{V}}_2}{-{\dot{I}}_2}=\frac{{\dot{Z}}_{n}D+B}{{\dot{Z}}_{n}C+A}$$

（分母分子の符号は同時に扱う。ここでは負荷向き $-{\dot{I}}_2$ を分母に合わせている。）

$$\boxed{{\dot{Z}}_{\mathrm{out}}=\frac{D{\dot{Z}}_n+B}{C{\dot{Z}}_n+A}}$$

形が有名：入力インピーダンスは ${\dot{Z}}_{\mathrm{in}}=\frac{A{\dot{Z}}_L+B}{C{\dot{Z}}_L+D}$、 出力インピーダンスは$A$ と $D$ を入れ替えた ${\dot{Z}}_{\mathrm{out}}=\frac{D{\dot{Z}}_n+B}{C{\dot{Z}}_n+A}$。 「入口は $A,D$／出口は $D,A$」と覚える。導出では$-{\dot{I}}_2$ の向きと ${\dot{V}}_1=-{\dot{Z}}_n{\dot{I}}_1$ の符号が要。

(2) 直列 $R$ の F行列

**方針：**直列インピーダンス $\dot{Z}=R$ の基本型（チートシート）。定義（開放${\dot{I}}_2=0$で$A,C$、短絡${\dot{V}}_2=0$で$B,D$）でも同じ。

**解法：**直列だと電流素通り ${\dot{I}}_1={\dot{I}}_2$、電圧は ${\dot{V}}_1={\dot{V}}_2+R{\dot{I}}_2$。開放で $A=1,C=0$、短絡で $B=R,D=1$。

$$\boxed{[F]=\left[\begin{array}{cc}1& R\\ 0& 1\end{array}\right]}AD-BC=1✓$$

(3) (2)を(1)に代入

方針：$A=1,B=R,C=0,D=1$ を ${\dot{Z}}_{\mathrm{out}}=\frac{D{\dot{Z}}_n+B}{C{\dot{Z}}_n+A}$ に入れるだけ。

解法：

$${\dot{Z}}_{\mathrm{out}}=\frac{1\cdot {\dot{Z}}_n+R}{0\cdot {\dot{Z}}_n+1}=\frac{{\dot{Z}}_n+R}{1}.$$

$$\boxed{{\dot{Z}}_{\mathrm{out}}={\dot{Z}}_n+R}$$

直感チェック：出力端から見ると直列 $R$ とその向こうの ${\dot{Z}}_n$ が直列に見えるので ${\dot{Z}}_n+R$。 式と物理が一致していれば安心。$C=0$ なので分母が $1$ になり計算が一気に楽。

(4) ${\dot{Z}}_n=0$ のとき

解法：(3)に ${\dot{Z}}_n=0$ を代入。

$${\dot{Z}}_{\mathrm{out}}=0+R=\boxed{R}$$

${\dot{Z}}_n=0$（入力を短絡）でも、出力から見れば直列 $R$ が残るので ${\dot{Z}}_{\mathrm{out}}=R$。 一般式に0を代入するだけだが、物理像（入力短絡でも自分の $R$ は消えない）も答えられると強い。

ドリル（数値・条件を変えて練習）

ドリル（白紙で解いてから解説へ）

D1. 問1の $[Z]=\left[\begin{array}{cc}R+j\omega L& R\\ R& R\end{array}\right]$ に $R=4\Omega ,\omega L=3\Omega$ を入れて数値の $[Z]$ を書け。

D2. D1 の $[Z]$ から $\det Z$ を求め、$[Y]$ を数値で求めよ。

D3. ある四端子回路の $[Y]=\left[\begin{array}{cc}2& -1\\ -1& 3\end{array}\right][\mathrm{S}]$。逆行列で $[Z]$ を求めよ。

D4. $A=2,B=3\Omega ,C=1\mathrm{S},D=2$ の回路に ${\dot{Z}}_n=1\Omega$ を付けたときの ${\dot{Z}}_{\mathrm{out}}$ を求めよ（$AD-BC$ も確認）。

D5. 直列 $R$ の回路を2つ縦続接続した全体の F行列を、行列の積で求めよ。

D6. 並列 $\dot{Z}$ の回路を2つ並列接続した全体の $[Y]$ を求めよ（$[Y]$ の和で）。

ドリル 全問解説

D1.$j\omega L=j3$ を代入。

$$[Z]=\left[\begin{array}{cc}4+j3& 4\\ 4& 4\end{array}\right][\Omega ].$$

$Z_{11}=R+j\omega L=4+j3$ だけ複素数、他は $R=4$。$Z_{12}=Z_{21}=4$（相反）。

D2.$\det Z=(4+j3)\cdot 4-4\cdot 4=16+j12-16=j12$。逆行列公式で

$$[Y]=\frac{1}{j12}\left[\begin{array}{cc}4& -4\\ -4& 4+j3\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}\frac{4}{j12}& -\frac{4}{j12}\\ -\frac{4}{j12}& \frac{4+j3}{j12}\end{array}\right].$$

$\frac{4}{j12}=\frac{1}{j3}=-\frac{j}{3}$、$\frac{4+j3}{j12}=\frac{4}{j12}+\frac{j3}{j12}=-\frac{j}{3}+\frac{1}{4}$。よって

$$[Y]=\left[\begin{array}{cc}-j/3& j/3\\ j/3& \frac{1}{4}-j/3\end{array}\right][\mathrm{S}].$$

$\frac{1}{j3}=-\frac{j}{3}$（$1/j=-j$）に注意。

D3.$\det Y=2\cdot 3-(-1)(-1)=6-1=5$。$[Z]=[Y{]}^{-1}=\frac{1}{5}\left[\begin{array}{cc}3& 1\\ 1& 2\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}0.6& 0.2\\ 0.2& 0.4\end{array}\right][\Omega ]$。 対角入替・非対角符号反転（$-(-1)=+1$）。

D4.$AD-BC=2\cdot 2-3\cdot 1=4-3=1$ （相反）。

$${\dot{Z}}_{\mathrm{out}}=\frac{D{\dot{Z}}_n+B}{C{\dot{Z}}_n+A}=\frac{2\cdot 1+3}{1\cdot 1+2}=\frac{5}{3}[\Omega ].$$

**D5.**直列 $R$ を2つ縦続＝F の積。

$$[F]=\left[\begin{array}{cc}1& R\\ 0& 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}1& R\\ 0& 1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}1& 2R\\ 0& 1\end{array}\right].$$

右上が $R+R=2R$（直列2つが1つの $2R$ に化ける）。縦続は積だが、この場合結果は「直列 $2R$」。

**D6.**並列 $\dot{Z}$ の $[Y]$ は $Y=1/\dot{Z}$ が左下…ではなく、並列単独素子の Y行列は $[Y]=\left[\begin{array}{cc}1/\dot{Z}& -1/\dot{Z}\\ -1/\dot{Z}& 1/\dot{Z}\end{array}\right]$。並列接続＝Y の和なので2つで

$$[Y{]}_{\text{全}}=2[Y]=\left[\begin{array}{cc}2/\dot{Z}& -2/\dot{Z}\\ -2/\dot{Z}& 2/\dot{Z}\end{array}\right].$$

これは「並列 $\dot{Z}/2$」（アドミタンス2倍）に等しい。物理的にも同じ $\dot{Z}$ を2つ並列＝$\dot{Z}/2$。

本番の進め方・見直しリスト

**解く順番。**問1は (1)変換式の導出（分母 $Z_{21}$）→ (2)F は直列$\times$並列の積 → (3)F$\to$Z（$\frac{1}{C}=R$） → (4)逆行列で Y（$\det Z=j\omega LR$）→ (5)並列は Y の和 → (6)直列は Z の和、と前の結果を使い回す一本道。 問2は (1)${\dot{V}}_1=-{\dot{Z}}_n{\dot{I}}_1$ を代入して ${\dot{Z}}_{\mathrm{out}}=\frac{D{\dot{Z}}_n+B}{C{\dot{Z}}_n+A}$ → (2)(3)(4)は代入。
見直しチェック： ☐ Z$\to$F の分母は全部 $Z_{21}$、$B=\frac{\det Z}{Z_{21}}$ か ☐ 逆行列は対角入替・非対角符号反転・$\det$で割るを守ったか

☐ 並列=Y の和／直列=Z の和／縦続=F の積を取り違えていないか ☐ $\det Z=j\omega LR$（$R^2$ が消える）を出せたか

☐ 複素数の逆数 $\frac{1}{j\omega L}=-\frac{j}{\omega L}$、$\frac{1}{j3}=-\frac{j}{3}$ を正しく処理したか ☐ 相反 $AD-BC=1$・$Z_{12}=Z_{21}$ で検算したか

☐ ${\dot{Z}}_{\mathrm{out}}$ は$D,A$ の順（入力インピーダンスと $A,D$ が逆）になっているか ☐ 接続後の行列は両成分とも2倍したか

出典

（出典: 令和7年度 前学期・小テスト4／交流回路「四端子回路」／出題：光本真一先生／実施 7月9日(水)。 学年学科 4E・参照物件 電卓・達成度目標 ケ。問1（逆L型：直列$L$＋並列$R$で Z$\to$F 変換式の導出・F行列・ F$\to$Z・Z$\to$Y の逆行列・並列接続の$[Y]$・直列接続の$[Z]$）、問2（Fパラメータの出力インピーダンス ${\dot{Z}}_{\mathrm{out}}=\frac{D{\dot{Z}}_n+B}{C{\dot{Z}}_n+A}$・直列$R$の代入・${\dot{Z}}_n=0$）。 先輩提供の手書き答案（ACCircuits/materials/0701/S__32833546–549.jpg）の最終結果と本資料の結論はすべて一致。）